Au début, des exposants issus de tous les secteurs de l'économie suisse étaient présents. Progressivement, la «mère de toutes les foires», comme la muba est fréquemment appelée, a laissé s'émanciper ses «enfants» devenus grands. C'est «Holz» – le salon de l'industrie de la transformation du bois – qui a été le premier à prendre son indépendance dans les années 50. D'autres secteurs importants comme le salon de la construction «Swissbau», le Salon de l'Horlogerie et de la Bijouterie «BASELWORLD» et enfin le salon du jardin «Giardina» ont suivi son exemple. Ces salons sont aujourd'hui des événements leaders dans leur domaine respectif en Suisse et dans le monde, et ils absorbent les visiteurs potentiels de la muba.
Au début, la «Foire des échantillons de Bâle» désignait à la fois la société de foires (coopérative) et la foire elle-même. Même après que certaines foires furent détachées de la Foire des échantillons de Bâle (l'actuelle muba) et que d'autres manifestations virent le jour, la coopérative a continué à s'appeler comme la foire. Ce n'est que dans les années 80 que sa raison sociale a été changée pour devenir la «Foire de Bâle». Il en a été ainsi jusqu'en 2003, quand la Foire de Bâle a fusionné avec la Foire de Zurich pour donner naissance à MCH Foire Suisse SA. Depuis 2009, la holding s'appelle MCH Group. Elle englobe, outre ses deux filiales Messe Basel et Messe Zurich, la société de techniques événementielles Winkler, la société de construction de stands Expomobilia et l'agence Rufener Events. Elle détient également des participations dans Beaulieu Lausanne, la société d'organisation de salons Exhibit&more et une société d'organisation de salons américaine.
Malgré – ou à cause – des nombreux changements de noms intervenus ces derniers temps, beaucoup de gens appellent encore l'entreprise «Foire des échantillons» ou même muba. La muba doit son nom actuel au grand public qui, au fil des années, en a imposé l'usage. Le nom "muba" est la contraction de MUstermesse BAsel. La direction de la foire a repris ce nom en 1984 et lui a associé un logo pour la première fois en 1992. De nombreuses personnes âgées continuent cependant à utiliser l'appellation «Foire des échantillons».
